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盘算机图形学中基于物理建模的衬着手艺之以是能给人极佳的视觉体验,是因为运用这些衬着手艺能够或许很实在的反映出每种物体独占的“质感”。我们能经由过程人眼视察来觉得物体外面“质感”的缘由,也是因为物体外面反射周围环境的特性分歧而构成的,因而对物体外面的物理建模关于其外面本身的质感显示至关重要。对物体外面的建模,最简朴的是镜面模子。运用镜面模子衬着出的物体具有非常润滑的觉得。然则现实生涯中很多物体外面一样平常是粗拙的,因而为了对上述的一样平常外面举行物理建模并将该物理模子运用到现实的衬着手艺当中去,我们起首要引入微外面模子。微外面模子假定物体外面是由一系列朝向各别的细小镜面构成的,各个细小镜面的朝向散布越疏散,则宏观的物体外面就会越粗拙;若越鸠合,则物体外面就会越润滑。在这一部分中,我们起首细致引见法线散布函数(Microfacet Distribution Function)和自遮挡函数(Masking and Shadowing Function),随后基于上述两部分内容,细致地推导Torrance-Sparrow微外面模子的BRDF剖析情势。

 

2.1 法线散布函数(Microfacet Distribution Function)

 

 法线散布函数相似几率论中的几率密度散布函数,它形貌了每一个微外面法线朝向一个特定偏向的几率。该函数写为$Dleft({{bf{omega}}_h}right)$,这里的${bf{omega}}_h$是每一个细小面元(microfacet)的朝向,即法线偏向。如图4所示,我们假定微外面(蓝色部分)是原物体润滑外面(黑色部分)沿法线${bf{n}}$做随机扰动后所构成的不平坦外面,个中的赤色部分是朝向参考偏向${bf{omega}}_h$左近的微外面鸠合,我们设扰动前润滑外面(黑色部分)的外面积总和为$A$,经扰动以后的微外面(蓝色部分)的外面积总和为$A'$,并假定$A$的面积充足小。因而$Dleft( {bf{omega}}_h right){rm{d}}{bf{omega}}_h $被界说为:图4中一切朝向位于${bf{omega}}_h$左近的赤色细小面元面积之和占$A$的比例(注重是占$A$的比例,而不是占$A'$的比例。这个界说好像有些失常,从直觉上来看,我们求赤色面积对$A'$的比例更有意义,但因为微外面的总外面积$A'$难于求得,且$A'$和物体外面的粗拙度有关,粗拙度越大则响应的$A'$越大,但我们发明$A$却与物体外面的粗拙度无关,这也是不得已而做出的衡量)。因而,表达式${A}{cdot}D({bf{omega}}_h){rm{d}}{{bf{omega}}_h}$即为朝向${bf{omega}}_h$左近的一切微外面的面积总和。因为在物体外面恣意地位$x$处构成的半球面$Omega_x$包含了一切$bf{omega}_{h}$的能够取值,依据上述的叙说历程,以是该处微外面的外面积总和$A' = intlimits_{Omega _x } {A} cdot {Dleft( {{bf{omega}} }_h right){rm{d}}{{bf{omega}} }_h}$。

 

 

依据以上的陈说,我们能够获得有关函数$D({bf{omega}}_h)$的一些性子以下:

1) 非负性。

begin{equation}
D({bf{omega}}_h) ge 0
end{equation}

2) 在物体外面恣意地位$x$处构成的半球面$Omega_x$内,微外面的面积$A'$应不小于$A$。即$A' = intlimits_{Omega _x } {A} cdot {Dleft( {{bf{omega}} }_h right){rm{d}}{{bf{omega}} }_h} ge A $。约去双方的$A$,有

begin{equation}
intlimits_{Omega _x } {Dleft( {{bf{omega}} }_h right){rm{d}}{{bf{omega}} }_h } ge 1
end{equation}
如许看来,$D(bf{omega}_{h})$其实不能算是严厉意义上的几率密度函数,因为原始的$D(bf{omega}_{h})$在半球面域上的积分纷歧定为$1$。这是因为前文所述$D({bf{omega}}_{h}) {rm{d}} {bf{omega}_{h}}$的寄义较为新鲜所构成的。

3) 原润滑外面在恣意偏向$bf{v}$上的投影面积,也即是微外面在该偏向上的投影面积。
这一点能够经由过程图5申明。注重朝向与投影偏向相反的微外面,其投影面积按负值盘算,体现为图中的赤色部分。设每一个微外面的法线偏向为$bf{h}$,原外面法线为$bf{n}$,则有$intlimits_{Omega _x } {A cdot Dleft( {{bf{omega }}_h } right)left( {{bf{v}} cdot {bf{h}}} right){rm{d}}{bf{omega }}_h } = Aleft( {{bf{v}} cdot {bf{n}}} right)$。即
begin{equation}
label{eq:microfacet-projection}
intlimits_{Omega _x } { Dleft( {{bf{omega }}_h } right)left( {{bf{v}} cdot {bf{h}}} right){rm{d}}{bf{omega }}_h } = left( {{bf{v}} cdot {bf{n}}} right)
end{equation}
特别地,若取$bf{v}=bf{n}$,则式(ref{eq:microfacet-projection})变成
begin{equation}
label{eq:microfacet-projection-2}
intlimits_{Omega _x } { Dleft( {{bf{omega }}_h } right) {rm{cos} {theta}} {rm{d}}{bf{omega }}_h } = 1
end{equation}
式(ref{eq:microfacet-projection-2})中$theta$是每一个微外面的法线$bf{h}$与原外面法线$bf{n}$的夹角。该式实质上界说了法线散布函数$D(bf{omega}_h)$的归一化前提。

 


以上内容细致引见了有关法线散布函数的特性,而针对法线散布函数的详细显示情势,有以下几种典范的完成。接下来重要引见Beckmann–Spizzichino散布函数(后文简称Beckmann散布)和Walter GGX散布函数(后文简称GGX散布)。

 

2.1.1 Beckmann散布

Beckmann和Spizzichino两人在1963年提出了$D({bf{omega}}_{h})$的一种完成情势以下
begin{equation}
label{eq:beckmann}
Dleft( {{bf{omega }}_h } right) = frac{{e^{ - tan ^2 theta _h /alpha ^2 } }}{{pi alpha ^2 cos ^4 theta _h }}
end{equation}
个中$theta_h$是${bf{omega}}_{h}$在球坐标系透露表现下的极角。

式(ref{eq:beckmann})能够用于各向同性外面,针对各向异性的外面,能够将$alpha$分解为$alpha_x$和$alpha_y$重量,并模仿椭圆剖析式的情势对该式举行革新,获得以下所示的各向异性表达式

begin{equation}
label{eq:beckmann-aniso}
Dleft( {{bf{omega }}_h } right) = frac{{e^{ - tan ^2 theta _h left( {cos ^2 varphi _h /alpha _x^2 sin ^2 varphi _h /alpha _y^2 } right)} }}{{pi alpha _x alpha _y cos ^4 theta _h }}
end{equation}
个中$theta_h$、$varphi_h$分别是${bf{omega}}_{h}$在球坐标系透露表现下的极角和方位角。各向同性表达式仅是各向异性在$alpha_x=alpha_y=alpha$的状况,其散布特性如图6所示,每幅子图沿径向外移对应球坐标系的极角$theta$增大,球坐标系的方位角$varphi$转变一周,对应每幅子图等半径的同心圆。

 

 

2.1.2 GGX散布
Walter在2007年基于Trowbridge, T. S.和Reitz, K. P.两人提出的散布函数,进一步推导出了GGX散布。运用这类散布组织的$D({bf{omega}} _ {h})$,具有较长的拖尾,能够很好的模仿一般物体的高光特性。这里直接给出其各向异性的$D({bf{omega}} _ {h})$情势以下。各向同性情势仅需令$alpha_x=alpha_y$便可。其散布特性如图7所示。

begin{equation}
label{eq:trowbridge-aniso}
Dleft( { {bf{omega}} _h } right) = frac{1}{{pi alpha _x alpha _y cos ^4 theta _h left( {1 tan ^2 theta _h left( {frac{{cos ^2 varphi _h }}{{alpha _x^2 }} frac{{sin ^2 varphi _h }}{{alpha _y^2 }}} right)} right)^2 }}
end{equation}

 

2.2 自遮挡函数(Masking and Shadowing Function)

仅界说法线散布函数,是不足以形貌微外面本身特性的,我们还要再引入自遮挡函数(Masking and Shadowing Function),这类函数意在模仿随光照偏向发生转变时,微外面本身的遮挡特性。或者说,当视察视角发生转变时,某些微外面会被别的微外面遮挡,我们须要一个函数来论述这类遮挡干系。这类函数的原型为$G_1( { bf{omega},bf{omega}_{h} } )$,其寄义为:沿视线偏向$bf{omega}$看去,朝向$bf{omega}_{h}$左近的微外面中能被人眼看到的比例(图8中蓝色部分与绿色部分之和的比例)。图形学中为了简化模子,常假定$G_1$与微外面本身朝向$bf{omega}_{h}$无关,此时$G_1$常写为$G_1( bf{omega} )$。

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与式(ref{eq:microfacet-projection-2})中形貌的法线散布函数的归一化约束前提相似,这里我们最先推导自遮挡函数$G_1( { bf{omega},bf{omega}_{h} } )$的约束前提。在引见法线散布函数部分中我们曾说起,朝向$bf{omega}_{h}$左近的微外面的总外面积为${A cdot Dleft( {{bf{ bf{omega} }}_h } right){rm{d}}{bf{ bf{omega} }}_h }$。若是我们沿着视线偏向$bf{omega}$看去,则朝向$bf{omega}_{h}$左近的微外面沿着视线偏向的投影面积为
$$
{max left( {0,{bf{omega }} cdot {bf{omega }}_h } right) cdot A cdot Dleft( {{bf{omega }}_h } right){rm{d}}{bf{omega }}_h }
$$
上式用$max$来过滤掉背向视线的微外面投影面积,使妥当微外面朝向${bf{omega}_{h}}$与视线${bf{omega}}$成角大于$frac{pi}{2}$时,它们的投影(负值)不会对终究投影效果发生抵消作用(因为我们从恣意偏向视察时本身就看不到背叛视线偏向的微外面,它们对可见面积没有孝敬)。注重这里即便是我们获得了一切朝向${bf{omega}_{h}}$的微外面投影,它们本身也能够发生遮挡(图8中沿视线偏向$bf{omega}$看去,绿色部分之间有互相堆叠的部分),使得它们的现实可见面积小于投影面积,而$G_1$函数能够获得其可见面积与现实面积之比。依据前文对$G_1$函数的形貌,我们能够获得现实可见的朝向${bf{omega}_{h}}$左近的微外面投影面积为
$$
{ G_1({bf{omega}},{bf{omega}}_{h} ) cdot max left( {0,{bf{omega }} cdot {bf{omega }}_h } right) cdot A cdot Dleft( {{bf{omega }}_h } right){rm{d}}{bf{omega }}_h }
$$
上述面积对位于点$x$处左近半球面$Omega_x$内一切$bf{omega}_{h}$举行积分,我们就获得了一切微外面沿视线$bf{omega}$投影后的可见面积
$$
intlimits_{Omega _x } {G_1 left( {bf{omega} ,bf{omega} _h } right) cdot max left( {0,bf{omega} cdot bf{omega} _h } right) cdot A cdot Dleft( {bf{omega} _h } right){rm{d}}bf{omega} _h }
$$
而这个面积又肯定与$A$沿着视线偏向的投影面积严厉相称,即
$$
A cos theta = intlimits_{Omega _x } {G_1 left( {bf{omega} ,bf{omega} _h } right) cdot max left( {0,bf{omega} cdot bf{omega} _h } right) cdot A cdot Dleft( {bf{omega} _h } right){rm{d}}bf{omega} _h }
$$

 

因为$A$为常数,双方约去反复项$A$,获得
begin{equation}
label{eq:g1-constraint}
cos theta = intlimits_{Omega _x } {G_1 left( {bf{omega} ,bf{omega} _h } right) cdot max left( {0,bf{omega} cdot bf{omega} _h } right) cdot Dleft( {bf{omega} _h } right){rm{d}}bf{omega} _h }
end{equation}
式(ref{eq:g1-constraint})即为$G_1$和$D$的配合约束前提,当$D$的情势给定且已知足式(ref{eq:microfacet-projection-2})的归一化前提时,则进一步化为$G_1$本身的约束前提。此前提能够用于后续对$G_1$剖析情势的求解。

 

基于上述议论,我们只定性分析了$G_1$的情势与作用,这里我们继承推导$G_1$的剖析情势。为了简化$G_1$的情势,我们假定假定$G_1$与微外面本身朝向$bf{omega}_{h}$无关。此时简化后的$G_1$如图9所示。注重图9与图8的区分,图8这里因为已假定$G_1$仅与${bf{omega}}$有关,以是在投影的时刻,我们把一切与视线成角小于$frac{pi}{2}$的微外面一并投影,获得的绿色面积之和设为$A^ ({bf{omega}})$,把一切与视线成角大于$frac{pi}{2}$的微外面一并投影,获得的赤色面积之和设为$A^-({bf{omega}})$。如许我们能够轻松获得
$$
A cos theta = A^ ({bf{omega}}) - A^-({bf{omega}})
$$

begin{equation}
label{eq:g1-2}
G_1({bf{omega}})= frac{A cos theta}{A^ ({bf{omega}})} = frac{A^ ({bf{omega}}) - A^-({bf{omega}})}{A^ ({bf{omega}})}
end{equation}
此时组织辅佐函数
$$
Lambda left( {bf{omega}} right) = frac{{A^ - left( {bf{omega}} right)}}{{A^ left( {bf{omega}} right) - A^ - left( {bf{omega}} right)}}
$$

$$
G_1 left( {bf{omega}} right) = frac{1}{{1 Lambda left( {bf{omega}} right)}}
$$
若是我们假定,微外面之间的高度互不相干(很明显这个假定其实不准确,因为微外面是一连的,相邻微外面的高度肯定相干,这里做出假定是因为要依据$D({bf{omega}}_{h})$得出$Lambda$确实解,不然将会有很多$Lambda$的解知足式(ref{eq:g1-constraint})。现实运用注解,这类假定下获得的$Lambda$仍能对生涯中的物体外面做出很好的近似),则关于Beckmann散布,有
begin{equation}
label{eq:beckmann-lambda}
Lambda left( {bf{omega}} right) = frac{1}{2}left( { {rm{erf}} left( a right) - 1 frac{{e^{ - a^2 } }}{{asqrt pi }}} right)
end{equation}
个中$a=frac{1}{alpha tan theta}$,$ {rm{erf}} left( x right) = frac{2}{{sqrt pi }}int_0^x {e^{ - t^2 } {rm{d}}t} $。关于各向异性外面,取
$$
alpha = sqrt {alpha _x^2 cos ^2 varphi alpha _y^2 sin ^2 varphi }
$$
关于GGX散布,有
begin{equation}
label{eq:GGX-lambda}
Lambda left( {bf{omega}} right) = frac{{sqrt {1 alpha ^2 tan ^2 theta } - 1}}{2}
end{equation}

 

以上细致引见了$G_1$函数的显示情势,然则在现实衬着中,$G_1$其实不能直接套用在衬着方程里,我们还须要界说$G({bf{omega}_{i}},{bf{omega}_{o}})$,$G$的寄义与$G_1$相似,$G_1$的份子是仅从$bf{omega}$偏向能看到的微外面投影面积,$G$的份子给出的是在偏向${bf{omega}_{i}}$和${bf{omega}_{o}}$上都能瞥见的微外面的投影面积。若是假定微外面同时被${bf{omega}_{i}}$和${bf{omega}_{o}}$瞥见的几率正比于微外面凌驾物体原外面的高度,则可依照该假定组织出$G$的履历公式

begin{equation}
label{eq:G_wi_wo}
G({bf{omega}_{i}},{bf{omega}_{o}}) = frac{1}{1 {Lambda(bf{{omega}}_{i})} {Lambda(bf{{omega}}_{o})}}
end{equation}

实践中注解,该履历公式与现实丈量的参数拟合的很好。注重式(ref{eq:G_wi_wo})建立的前提实质上是基于三个假定:1)自遮挡函数$G_1$与${bf{omega}}_h$无关;2)微外面之间的高度互不相干;3)微外面同时被${bf{omega}_{i}}$和${bf{omega}_{o}}$瞥见的几率正比于微外面凌驾物体原外面的高度。

 

2.3 Torrance–Sparrow 模子

该模子是Torrance和Sparrow两人在1967年为了对粗拙金属外面举行物理建模时提出的,该模子假定金属物体外面是由很多具有抱负镜面特性的微外面构成的。下面我们就来细致推导Torrance–Sparrow模子的剖析情势。

 

如图10所示,设${bf{omega}_{h}}$为某一个微外面的法向偏向,且为入射偏向${bf{omega}_{i}}$和出射偏向${bf{omega}_{o}}$的中央向量,$A$为物体外面处的细小面元,$theta_o$为${bf{omega}}_{o}$和物体外面法向$bf{n}$的夹角,$theta_h$为${bf{omega}}_{i}$和${bf{omega}}_{h}$的夹角(也即${bf{omega}}_{o}$和${bf{omega}}_{h}$的夹角)。此时${bf{omega}_{i}}$和${bf{omega}_{o}}$呈镜面反射干系。依据辐射通量的界说和在“盘算机图形学(一)——辐照度学概述”中所推导获得的式子

 


$$
{rm{d}}Phi _h = L_i left( {{bf{omega}} _i } right)cos theta_h {rm{d}}{bf{omega}}_{i} {rm{d}}Aleft( {{bf{omega}} _h } right)
$$
由2.1部分有关微外面外面积积分的内容,能够获得
$$
{rm{d}}Aleft( {{bf{omega}} _h } right) = A cdot Dleft( {{bf{omega}} _h } right){rm{d}}{bf{omega}} _h
$$
以是
begin{equation}
label{eq:dphih}
{rm{d}}Phi _h = L_i left( {{bf{omega}} _i } right)A cdot Dleft( {{bf{omega}} _h } right)cos theta_h {rm{d}}{bf{omega}}_{i} {rm{d}}{bf{omega}} _h
end{equation}
设$F_r({bf{omega}}_{o})$为沿着入射偏向${bf{omega}_{i}}$朝出射偏向${bf{omega}_{o}}$的菲涅尔反射系数,$F_r({bf{omega}}_{o}) in [0,1] $,则沿出射偏向${bf{omega}_{o}}$的辐射通量${{rm{d}}Phi_o}$为
begin{equation}
label{eq:dphio}
{{rm{d}}Phi_o} = F_r({bf{omega}}_{o}){{rm{d}}Phi_h}
end{equation}

依据辐射率的界说,又很轻易获得出射辐射率$L_o$为
begin{equation}
label{eq:lowo}
{L_o}left( {{{bf{omega }}_o}} right) = frac{{{rm{d}}{Phi _o}}}{{ A cos {theta_o }{rm{d}}{ {bf{omega }} _o}}}
end{equation}

将式(ref{eq:dphih})、式(ref{eq:dphio})代入式(ref{eq:lowo}),获得
begin{equation}
label{eq:lo2}
L_o left( {{bf{omega}} _o } right) = frac{{F_r left( {{bf{omega}} _o } right)L_i left( {{bf{omega}} _i } right)Dleft( {{bf{omega}} _h } right)cos theta _h {rm{d}}{bf{omega}}_{i} {rm{d}}{bf{omega}} _h }}{{cos theta _o {rm{d}}{bf{omega}} _o }}
end{equation}

 

假定图11中,入射光芒沿着$IO$偏向射入外面处$O$点,并沿着镜面反射偏向$OR$出射,微外面部分法线为$bf{h}$。因为$IP=PR$,因而${rm{d}}A_R=4 cdot {rm{d}}A_P$。假定该半球面为单元半球,即$r=|OQ|=1$,则$OP=cos theta_i$。以是又有${rm{d}}A_P=cos^2 theta_i cdot {rm{d}}A_Q'$。这构成${rm{d}}A_R=4 cos^2 theta_i cdot {rm{d}}A_Q'$。注重到${rm{d}}A_Q$和${rm{d}}A_Q'$之间知足的投影干系,${rm{d}}A_Q= cos theta_i cdot {rm{d}}A_Q'$,整顿上述干系,很轻易获得
$$
{rm{d}}A_R= 4 cos theta_i cdot {rm{d}}A_Q
$$

因为球面是单元球面,依据立体角的界说,${rm{d}}A_R={rm{d}}{bf{omega}}_o$,${rm{d}}A_Q={rm{d}}{bf{omega}}_h$;因为图11中$theta_i$和图10中$theta_h$等价,$theta_i=theta_h$。因而
begin{equation}
label{eq:wo=4coswh}
{rm{d}}{bf{omega}}_o = 4 cos theta_h cdot {rm{d}}{bf{omega}}_h
end{equation}

将式(ref{eq:wo=4coswh})代入式(ref{eq:lo2}),获得
begin{equation}
label{eq:lo3}
L_o left( {{bf{omega}} _o } right) = frac{{F_r left( {{bf{omega}} _o } right)L_i left( {{bf{omega}} _i } right)Dleft( {{bf{omega}} _h } right){rm{d}}{bf{omega}}_{i} }}{{4 cos theta _o }}
end{equation}

上式是仅在斟酌单个微外面时的状况。关于由大批微外面构成的一样平常材质外面,肯定会发生微外面间的遮挡,这时刻就要引入上文说起的自遮挡函数$G$。修正后的式(ref{eq:lo3})变成
begin{equation}
label{eq:lo4}
L_o left( {{bf{omega}} _o } right) = frac{{F_r left( {{bf{omega}} _o } right)L_i left( {{bf{omega}} _i } right)Dleft( {{bf{omega}} _h } right)Gleft( {{bf{omega}} _i ,{bf{omega}} _o } right){rm{d}}{bf{omega}}_{i} }}{{4cos theta _o }}
end{equation}
依据BRDF的界说式
$$
f_r left( {{bf{omega}} _i ,{bf{omega}} _o } right) = frac{{L_o left( {{bf{omega}} _o } right)}}{{L_i left( {{bf{omega}} _i } right)cos theta _i {rm{d}}{bf{omega}} _i }}
$$
获得终究的Torrance-Sparrow BRDF剖析情势为
begin{equation}
label{eq:torrance-sparrow-brdf}
f_r left( {{bf{omega}} _i ,{bf{omega}} _o } right) = frac{{F_r left( {{bf{omega}} _o } right)Dleft( {{bf{omega}} _h } right)Gleft( {{bf{omega}} _i ,{bf{omega}} _o } right)}}{{4cos theta _o cos theta _i }}
end{equation}

视察上述推导历程,我们发明Torrance-Sparrow BRDF模子并没有依赖于任何的微外面散布特性,因而该BRDF具有肯定的普适性。然则该BRDF的推导仍基于一个基础假定:光芒在射入微外面时知足镜面反射纪律。

 

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