Wolsey“强整数计划模子”典范案例之一单源流动


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Wolsey“强整数计划模子”典范案例之一单源流动用度收集流题目

浏览本文能够明白甚么是“强”整数计划模子。

单源流动用度收集流题目见文献[1]第13.4.1节(p229-231),是"强整数计划建模“的极好案例。

本文是本博客原创,本博客不转贴别人作品,作者:”陆战之王“。

单源流动用度收集流题目(The Signle Source Fixed Charge Network Flow Problem)

单源流动用度收集流题目:给定一个有向收集 (边数为m,节点数n),收集上只需一个流量流入节点(标记为1),但有若干个流量流出节点, 节点 i 的流出流量标记为 B[i], 每一个边 e (e =1,...,m) 有流量限定(此例中不斟酌流量限定,因而流量限定取为-B[1]) 。收集状况以下图:

收集的节点数n=4, 边数m=8。

对应节点1,2,3,4, 流(出)量B={ -6  2  3  4}。

对应边e=1,2,3,4,5,6,7,8, 边由节点对界说,数据是 E={(1 4) (1 2) (4 2) (1 3) (2 3) (3 2) (4 3) (3 4)}. 

对应边e=1,2,3,4,5,6,7,8, 边上的一次性用度是C={5 2 7 3 2 4 9 12}.

非“强”整数计划模子

设非负变量 x[e] 是边e (e =1,...,8) 上的流量, 又设0-1变量 y[e] 透露显示边e上是不是有流量。因而模子的目的是极小化一次性用度和,束缚无外乎节点上的流量均衡束缚和x[e]-y[e]之间的联系关系束缚。

用 Leapms写出模子,其PDF摘录以下:

上述模子用 Leapms中的solve敕令求松懈解,能够看到y变量非0-1: 

 Leapms>solve
The LP is solved to optimal.
找到线性计划最优解.非零变量值和最优目的值以下:
    .........
    x1*=1
    x2*=2
    x4*=3
    y1*=0.166667
    y2*=0.333333
    y4*=0.5
    .........
    Objective*=3
    .........
 Leapms>

若要取得整解则必需运用mip敕令对题目举行分支定界/割平面求解:

 Leapms>mip
relexed_solution=3; number_of_nodes_branched=0; memindex=(1,1)
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整数计划的最优解.非零变量值和最优目的值以下:
  .........
    x1* =1
    x2* =5
    x5* =3
    y1* =1
    y2* =1
    y5* =1
  .........
    Objective*=9
  .........
 Leapms>

效果在收集上显示:

“强”整数计划模子(Strong Integer Formulation)

“强”整数计划模子对上述模子采用了Multicommodity改写。要领是引入一个新非负变量 z[e][k], 其寄义是流过e边终究贡献给k节点流出的流量(明显此处k=2,...,n, k$neq 1$)。

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新模子的目的不会转变,束缚中的节点均衡条件逻辑上也不转变,即对任何节点 i , 流出和流入之差应该为0 或许 当i==k时等于k的流出量。

用 Leapms写出模子,其PDF摘录以下:

上述所谓“强”模子比之前的模子的优点在于在 Leapms中直接运用solve敕令就能够求出整数解,即不需要分支定界/割平面历程!

不非常严格地:此等于“强”整数计划模子和寄义,强模子更轻易求解,或许说对求解器更友爱。

+Leapms的求解历程:

 Leapms>solve
The LP is solved to optimal.
找到线性计划最优解.非零变量值和最优目的值以下:
    .........
    x1*=1
    x2*=5
    x5*=3
    y1*=1
    y2*=1
    y5*=1
    z1_4*=1
    z2_2*=2
    z2_3*=3
    z5_3*=3
    .........
    Objective*=9
    .........
 Leapms>

效果在收集上显示:

强整数计划模子的细致诠释 及 “强”建模道理

本案例的“强”建模道理来源于文[1]中的三个视察(Oberservation 13.2-13.4, page 230) 。

关于“强”模子的细致诠释,见文[2]。

其他

文[1]并未在13.4.1中给出此案例的一切数据,其他数据(主如果边上用度数据C是从13.1, page 222)的XPRESS MP模子中读出的。贴在这里,供看官与 Leapms建模言语作对照:

结论

“强”整数计划建模观点是典范建模要领中的重要内容,如果说在本科《运筹学》教授教养中只需报告0-1变量的运用便可,那末在研究生条理的《高等运筹学》教授教养中最好增添“强”整数计划建模内容。

运用本地完整自主知识产权的 Leapms建模言语和 Leapms求解器,能够有用辅佐教授教养,比之传统的舶来建模言语和求解器有上风。

参考文献

[1] Wolsey L A. Integer Programming. New York: Jonh Wiley & Sons, 1998 / ISBN 978-0-471-28366-9

[2] Wolsey L . Strong formulations for mixed integer programming: A survey[J]. Mathematical Programming, 1989, 45(1-3):173-191.

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