特性多项式_玖富娱乐主管发布


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特性多项式与常系数线性齐次递推

一般来讲,这个器械是用来优化能用矩阵乘法优化的递推式子的。

一般,这类递推式子的特性是在齐次的条件下,转移系数也能够经由过程递推获得。

关于如许的递推,一般解法为$O(NK)$的递推或许$O(k^3log n)$的矩阵乘法,然则有些**毒瘤**的出题人~~吉先生~~,会将如许的递推强行出成$Kle 1000$,迥殊,关于常系数线性齐次递推有些出题人以至会出成$20000$!

如许,就须要引入一个异常风趣~~头秃~~的观点:特性多项式。

起首,我们须要引见$Cayley-Hamilton$定理

关于一个$n$阶的一个方阵,它的特性多项式为$p(lambda)=|lambda E-A|=lambda^n b_1lambda^{n-1} b_2lambda^{n-2} ... b_n$

那末明显:$p(A)=0$

也就是说:$A^N b_1A^{n-1} ... b_n=0$,即$p(lambda)$为原多项式的化零多项式。

因而,这个特性多项式能够经由过程高斯消元及拉格朗日插值求出。

求矩阵的特性多项式

一个$O(n^4)$的做法

明显,我们获得的特性多项式是一个$n$阶多项式,那末只须要晓得$n 1$个点的点值就能够获得了。

也就是,我们把$n 1$个数代入$|lambda E-A|$中(作为$lambda$),然后暴力高斯消元便可获得一个矩阵的特性多项式。

那末,接下来,只须要拉格朗日插值便可。

这个做法作为一个$n^4$的做法实在想要卡掉矩阵乘法是很难的,除非将递推的项数放到$10^{1000}$如许的级别,如[BZOJ4162]

那末接下来,我们斟酌方才的做法可否被优化。

明显,每次$n^3$求矩阵行列式太慢了。

一个$O(n^3)$的做法

关于如许的矩阵:$A=Ptimes Btimes P^{-1}$

称$A,B$是相似的,也就是说,关于$A,B$的特性多项式相同。

组织照样很轻易的,只须要保存每行与每行之间的干系便可。

关于如许的矩阵,我们称之为上海森堡矩阵。

$begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&cdots&a_{1,n}\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&cdots&a_{2,n}\ 0&a_{3,2}&a_{3,3}&cdots&a_{3,n}\ vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\ 0&0&0&cdots&a_{n,n} end{pmatrix}$

那末,关于如许的矩阵,求行列式的时候复杂度就降为$n^2$了!

然后,总时候复杂度为$n^3 n^2log m$,或许为$n^3 nlog n log m$(并没有卵用),然后关于$n^3 log m$的矩阵乘法构成了鲜亮的上风(大雾

明显,实在上面的器械没有那末有效...

然则照样有须要晓得的,万一他卡你呢?

常系数线性齐次递推的矩阵的特性多项式

界说:递推式为$f_i=sumlimits_{j=1}^na_jtimes f_{i-j},i>n$的递推。

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讲道理,这个器械才异常有效...

关于一切的常系数线性齐次递推来讲,它们的矩阵形状相似,一样,他们的特性多项式也相似...

实在手画一下就能够发明,它们的特性多项式都是$p(lambda)=lambda^n-a_1lambda^{n-1}-a_2lambda^{n-2}-...-a_n$

依照行列式的界说睁开式子退一下就获得啦!

特性多项式的使用手册

实在,使用方法很简单啦,就是应用之前获得的特性多项式性子,$p(A)=A^N b_1A^{n-1} ... b_n=0$

那末,关于如许的式子,就能够做到将一切的$A^K$用$A^0sim A^n$的矩阵线性表达出来了。

$A^{x y}=A^x times A^y$

那末$A^x=sumlimits_{i=0}^n b_itimes A^i,A^y=sumlimits_{i=0}^nc_itimes A^i$

也就是:$A^{x y}=sumlimits_{i=0}^nsumlimits_{j=0}^nb_itimes c_{j}times A^{i j}$

由于有:$p(A)=0$也就是说:$A^{x y}=sumlimits_{k=0}^{2times n}(sumlimits_{i=0}^{min(n,k)}b_ic_{k-i})A^k mod p(lambda)$

然后明显,能够用倍增(实在就是疾速幂)上述操纵,也就是我们获得了一个$n^2log m$复杂度的递推。

关于上述暴力操纵能够用$NTT$或$FFT$优化上述多项式相乘和多项式取模。

也就是说,我们获得了一个$nlog n log m$的优异做法!(拿头写啊

关于谜底

$A^x=sumlimits_{i=0}^n b_itimes A^i$

这个式子已给我们谜底了,也就是说,这个矩阵的前$n$项加上系数相加便可,然则明显这个器械是$n^4$的

若是请求$f_m$的话,这个器械只须要用到$f_0sim f_n$便可

若是求矩阵的话,照样老老实实的一个一个乘吧...

例题.jpg

求矩阵特性多项式裸题:[BZOJ4162]

常系数线性齐次递推$n^2log m$裸题:[BZOJ4161]

高难度的器械:[NOI 2017 泳池]

附件

NOI 2017 泳池 题解

对我来讲,能够我只能接收$kle 2000$,若是再大就想要打人了...

起首70分的暴力基础相同[UNR 2 积劳成疾](http://uoj.ac/problem/311)

也许就是推一个$f[i][j],s[i][j]$便可,[我不想再写一遍了](https://winniechen.cn/?p=152)

剩下的就是能够把这个转移写成矩阵的情势,然后就能够拿到优异的$90$分了。

末了,依据上面的器械,优化一下就能够AC掉这道题了!

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